Тема: Понятие и построение, содержание и структура бухгалтерского баланса. Учебная работа № 383165

Учебная работа № 383165. Тема: Понятие и построение, содержание и структура бухгалтерского баланса

Выдержка из подобной работы

…….

Выбор и построение интерполирующей функции

…..х=0.47 , используя интерполяционную
схему Эйткина, проверить правильность решения с помощью кубического сплайна.
Значения функции у приведены в таблице:

i

0

1

2

3

4

5

xi

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

yi

0,38942

0,47943

0,56464

0,64422

0,71736

0,78333

x=

0,47

Введение

Пусть на отрезке  задано N точек
, которые
называются узлами интерполирования, и значения некоторой функции  в этих точках: . Нужно построить функцию  ( функцию, которая интерполирует), которая совпадала
бы с  в узлах интерполяции и приближала ее между ними, то
есть такую, что . Геометрическая интерпретация задачи интерполяции
состоит в том, что нужно найти такую кривую  некоторого вида, что проходит через заданную систему
точек  С помощью этой кривой можно найти приближенное
значение , де  Задача
интерполяции становится однозначной, если вместо произвольной функции  искать многочлен  степени
не выше , который удовлетворяет условия:

.

Интерполяционный многочлен  всегда однозначный, поскольку существует только один
многочлен степени , который в данных точках принимает заданные значения.
Существует несколько способов построения интерполяционного многочлена. Дальше
мы рассмотрим основные способы подробнее.

Теоретическая часть

Интерполяционный многочлен
Лагранжа

Интерполяционный многочлен
Логранжа, что принимает в узлах интерполяции  соответственно
значений  имеет вид:

 (*)

С формулы видно, что степень
многочлена  равна , и
многочлен Логранжа удовлетворяет все условия задачи интерполяции.

Если расстояние между всеми
соседними узлами интерполирования одинаково, то есть , формула (*) значительно упрощается. Введем новую
переменную , тогда   Теперь интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:

. (**)

Тут .

Коэффициенты , которые стоят
перед величинами  в формуле (**), не зависят от функции  и от шага , а
зависят только от величин  Поэтому таблицами составленными для различных
значений , можно воспользоватся при решении различных задач
интерполирования для равноотстоящих узлов.

Возникает вопрос, на сколько
близко многочлен Логранжа приближается к функции  в других
точках (не узловых), то есть на сколько большой остаток. На функцию  накладывают дополнительные ограничения. А именно:
предполагают, что в рассмотренной области  изменения
, которые содержат узлы интерполяции, функция  имеет все производные  до
-го порядка включительно. Тогда оценка абсолютной
погрешности интерполяционной формулы Логранжа имеет вид:

, (***)

где  .

Интерполяционный многочлен
Ньютона

Разделенными разностями
называются соотношения вида:

— первого порядка:

— второго порядка:

 (5.15)

…………………………………………………;

— n- го порядка:

С помощью разделенных
різностей можно построить многочлен:

 (5.16)

Он называется
интерполяционным многочлен Ньютона для
заданной функции. Эта форма записи более удобна для использования, поскольку
при добавлении к узлам x0, x1, …, xn
нового xn+1 все вычесленные раньше члены остаются без
изменений, а в формулу добавляется только одно слогаемое. При использовани
формулы Логранжа нужно вычислять все заново.

Если значения функции заданы
для равноотстоящих значений аргумента  (постоянную
вели…